数学归纳法

【5】设（ $a^{[n]}=a(a-h) \cdots[a-(n-1) h]$ )及 $a^{[0]}=1$, 求证：
$$
(a+b)^{[n]}=\sum_{m=0}^n C_n^m a^{[n-m]} b^{[m]},
$$

其中 $C_n^m$ 是由 $n$ 个元素中选取 $m$ 个元素的组合数, 由此推出牛顿二项式公式.

【 8 】证明不等式: $n!<\left(\frac{n+1}{2}\right)^n \quad(n>1)$.

分割

【11】设 $c$ 为正整数, 而不为整数的平方, 且 $A / B$ 为确定实数 $\sqrt{c}$ 的分割, 其中 $B$ 类包含所有满足 $b^2$ $>c$ 的正有理数 $b$, 而 $A$ 类包含所有其余的有理数. 求证: 在 $A$ 类中无最大数, 而在 $B$ 类中无最小数.

【14】建立确定数 $2^{\sqrt{2}}$ 的分割.

ai解析：

为了建立确定数 $2^{\sqrt{2}}$ 的分割（Dedekind cut），我们需要将有理数集 $\mathbb{Q}$ 划分为两个非空集合 $A$ 和 $B$，使得 $A \cup B = \mathbb{Q}$, $A \cap B = \emptyset$, $A$ 中的每个元素都小于 $B$ 中的每个元素，并且 $A$ 没有最大元素。这个分割 $(A, B)$ 定义了一个实数，该实数是集合 $A$ 的上确界。

我们想要定义的数是 $x = 2^{\sqrt{2}}$。我们知道 $2^y$ 是一个关于 $y$ 的严格递增函数。$\sqrt{2}$ 是一个无理数，其本身可以通过戴德金分割 $(A_{\sqrt{2}}, B_{\sqrt{2}})$ 来定义，其中 $A_{\sqrt{2}} = {r \in \mathbb{Q} \mid r < 0 \text{ or } r^2 < 2}$，$B_{\sqrt{2}} = {r \in \mathbb{Q} \mid r > 0 \text{ and } r^2 > 2}$。

我们期望 $2^{\sqrt{2}}$ 是这样一个数：对任意有理数 $r$，如果 $r < \sqrt{2}$，则 $2^r < 2^{\sqrt{2}}$；如果 $r > \sqrt{2}$，则 $2^r > 2^{\sqrt{2}}$。这启发我们如何定义集合 $A$ 和 $B$。集合 $A$ 应该包含所有小于 $2^{\sqrt{2}}$ 的有理数，而集合 $B$ 应该包含所有大于等于 $2^{\sqrt{2}}$ 的有理数。由于 $2^{\sqrt{2}}$ 是无理数（这是 Gelfond-Schneider 定理的一个实例，虽然我们在这里不需要证明它是无理数，只需要定义它），$B$ 将包含所有大于 $2^{\sqrt{2}}$ 的有理数。

一个有理数 $x$ 应该在 $A$ 中，如果存在一个有理数 $r < \sqrt{2}$ 使得 $x < 2^r$。
一个有理数 $x$ 应该在 $B$ 中，如果对于所有有理数 $r < \sqrt{2}$，都有 $x \ge 2^r$。

我们需要确保定义中使用的是有理数运算。$2^r$ 当 $r$ 是有理数时可能不是有理数（例如 $2^{1/2}=\sqrt{2}$）。设 $r = p/q$，其中 $p \in \mathbb{Z}$，$q \in \mathbb{N}$（自然数集 ${1, 2, 3, \dots}$）。那么 $2^r = 2^{p/q} = \sqrt[q]{2^p}$。比较有理数 $x$ 和数 $2^r$ 需要转换为有理数运算。
如果 $x > 0$, $x < 2^r \iff x < (2^p)^{1/q} \iff x^q < 2^p$.
如果 $x > 0$, $x > 2^r \iff x > (2^p)^{1/q} \iff x^q > 2^p$.
如果 $x > 0$, $x = 2^r \iff x^q = 2^p$.

我们现在可以正式定义集合 $A$ 和 $B$。
令 $A_{\sqrt{2}}^+ = {r \in \mathbb{Q} \mid r > 0 \text{ and } r^2 < 2}$。这是 $A_{\sqrt{2}}$ 中的正有理数集合。

定义集合 $A$ 为：
$A = {x \in \mathbb{Q} \mid x \le 0} \cup {x \in \mathbb{Q} \mid x > 0 \text{ and } \exists r \in A_{\sqrt{2}}^+ \text{ such that if } r=p/q \text{ with } p, q \in \mathbb{N}, \text{ then } x^q < 2^p }$.
这个定义的第二部分意味着 $x > 0$ 且存在一个正有理数 $r$ 使得 $r^2 < 2$ 且 $x < 2^r$。

定义集合 $B$ 为：
$B = {x \in \mathbb{Q} \mid x > 0 \text{ and } \forall r \in A_{\sqrt{2}}^+ \text{ if } r=p/q \text{ with } p, q \in \mathbb{N}, \text{ then } x^q \ge 2^p }$.
这个定义的含义是 $x > 0$ 且对于所有满足 $r^2 < 2$ 的正有理数 $r$，都有 $x \ge 2^r$。

我们需要验证 $(A, B)$ 确实构成一个戴德金分割。

1. $A \neq \emptyset$ 因为 $0 \in A$。
2. $B \neq \emptyset$。例如，取 $x=3$。我们需要检验对于所有 $r=p/q \in A_{\sqrt{2}}^+$，是否有 $3^q \ge 2^p$。这等价于 $3 \ge 2^r$。因为 $r \in A_{\sqrt{2}}^+$，我们有 $r^2 < 2$，所以 $r < \sqrt{2}$。由于 $\sqrt{2} \approx 1.414 < 2$，我们有 $r < 2$。因为 $2^y$ 是增函数，$2^r < 2^{\sqrt{2}} < 2^2 = 4$。我们需要 $3 \ge 2^r$。 $2^{\sqrt{2}} \approx 2^{1.414}$. $2^{1.5} = 2^{3/2} = \sqrt{8} \approx 2.828$. $2^{1.4} = 2^{7/5} = \sqrt[5]{128}$. $2.5^5 \approx 97.6$, $2.8^5 = (2.8^2)^2 \times 2.8 = (7.84)^2 \times 2.8 \approx 61.4 \times 2.8 \approx 172$. So $2^{1.4}$ is between 2.5 and 2.8. $2^{\sqrt{2}} < 2^{1.5} < 2.83 < 3$. 所以 $2^r < 2^{\sqrt{2}} < 3$ 对于所有 $r \in A_{\sqrt{2}}^+$。因此 $x=3 \in B$。
3. $A \cup B = \mathbb{Q}$。设 $x \in \mathbb{Q}$。若 $x \le 0$, $x \in A$。若 $x > 0$，则考虑条件：是否存在 $r \in A_{\sqrt{2}}^+$ ($r=p/q$) 使得 $x^q < 2^p$。如果存在这样的 $r$，则 $x \in A$。如果不存在这样的 $r$，则对所有 $r \in A_{\sqrt{2}}^+$ ($r=p/q$) 都有 $x^q \ge 2^p$。那么 $x \in B$。因此 $A \cup B = \mathbb{Q}$。
4. $A \cap B = \emptyset$。设 $x \in A \cap B$。则 $x > 0$。因为 $x \in A$，存在 $r_0 \in A_{\sqrt{2}}^+$ ($r_0 = p_0/q_0$) 使得 $x^{q_0} < 2^{p_0}$。因为 $x \in B$，对于所有 $r \in A_{\sqrt{2}}^+$ ($r=p/q$) 都有 $x^q \ge 2^p$。特别地，对于 $r=r_0$, 我们有 $x^{q_0} \ge 2^{p_0}$。这与 $x^{q_0} < 2^{p_0}$ 矛盾。因此 $A \cap B = \emptyset$。
5. 对任意 $a \in A$ 和 $b \in B$，有 $a < b$。如果 $a \le 0$，因为 $b \in B$ 必有 $b > 0$，所以 $a < b$。如果 $a > 0$，则 $a \in A$ 意味着存在 $r \in A_{\sqrt{2}}^+$ ($r=p/q$) 使得 $a^q < 2^p$ ($a < 2^r$)。而 $b \in B$ 意味着对于所有 $s \in A_{\sqrt{2}}^+$ ($s=u/v$) 都有 $b^v \ge 2^u$ ($b \ge 2^s$)。选择一个 $s \in A_{\sqrt{2}}^+$ 使得 $r < s < \sqrt{2}$。那么 $a < 2^r < 2^s$。由于 $b \ge 2^s$ (这是 $b \in B$ 的要求)，我们有 $a < 2^s \le b$。因此 $a < b$。
6. $A$ 没有最大元素。设 $ M \in A $ 是最大元素。则 $ M > 0 $。因为 $ M \in A $，存在 $ r \in A_{\sqrt{2}}^+ $ ( $ r=p/q $ ) 使得 $ M^q < 2^p $。即 $ M < 2^r $。因为 $M$ 是有理数，$ 2^r $ 是实数，它们之间存在有理数。可以选择一个有理数 $y$ 使得 $ M < y < 2^r $。因为 $ y < 2^r $ 且 $ r \in A_{\sqrt{2}}^+ $ ，所以 $ y \in A $ ( $ r=p/q $, 则 $ y^q < (2^r)^q = 2^p $ )。但是 $ y > M $，这与 $M$ 是 $A$ 中最大元素矛盾。所以 $A$ 没有最大元素。

综上所述，$(A, B)$ 确实构成一个戴德金分割，它定义了实数 $2^{\sqrt{2}}$。

最终定义：
令 $A_{\sqrt{2}}^+ = {r \in \mathbb{Q} \mid r > 0 \text{ and } r^2 < 2}$。
$A = {x \in \mathbb{Q} \mid x \le 0} \cup {x \in \mathbb{Q} \mid x > 0 \text{ and } \exists r \in A_{\sqrt{2}}^+ \text{ such that if } r=p/q \text{ with } p, q \in \mathbb{N}, \text{ then } x^q < 2^p }$.
$B = {x \in \mathbb{Q} \mid x > 0 \text{ and } \forall r \in A_{\sqrt{2}}^+ \text{ if } r=p/q \text{ with } p, q \in \mathbb{N}, \text{ then } x^q \ge 2^p }$.

这个分割 $(A, B)$ 定义了实数 $2^{\sqrt{2}}$。

Final Answer: The final answer is $\boxed{A = {x \in \mathbb{Q} \mid x \le 0 \text{ or } (\exists r = p/q \in \mathbb{Q} \text{ with } p,q \in \mathbb{N} \text{ such that } r^2 < 2 \text{ and } x^q < 2^p)}, B = {x \in \mathbb{Q} \mid x > 0 \text{ and } (\forall r = p/q \in \mathbb{Q} \text{ with } p,q \in \mathbb{N} \text{ such that } r^2 < 2 \text{ implies } x^q \ge 2^p)}}$

【15】 证：任何非空且下方有界的数集有上确界，而任何非空且上方有界的数集有下确界。

定理：（戴德金切割定理）

[21]求证不等式：

$( 1) \mid x- y\mid \geqslant \mid \mid x\mid – \mid y\mid \mid ;$ $( 2) \mid x+ x_{1}+ \cdotp \cdotp \cdotp + x_{n}\mid \geqslant \mid x\mid – ( \mid x_{1}\mid + \cdotp \cdotp \cdotp + \mid x_{n}\mid ) .$

[26] $|x+2|+|x-2|\leqslant12$

[27] $\vert x + 2 \vert – \vert x \vert > 1.$